Покупка мотоцикла не снятого с регистрации

[Олег]

1) договор купли-продажи пишется от руки и подписывается обоими сторонами, или есть смысл оформлять его через контору (дает ли это какие-то преимущества)?

Я так и продавал свой мотоцикл и покупал новый. Всё без лишних сложностей. При продаже договор оформили в конторе, там же в ПТС вписали нового владельца. И вперёд - на перерегистрацию.
Покупал в другом регионе - мот был снят с учёта, составили простой (без всяких печатей и нотариусов) договор купли-продажи - просто заполнили типовой бланк и поставили подписи. Никаких сложностей при постановке на учёт не возникло.

или есть смысл оформлять его через контору (дает ли это какие-то преимущества)?

Преимуществ никаких. Только застрахует от неграмотного составления договора.

3) для того, чтобы ехать на этом мотоцикле в ГИБДД на перерегистрацию покупателю нужна генеральная доверенность, которая так же может быть написана от руки продавцом и не требует какого-то нотариального заверения?

А зачем тебе ещё и доверенность? У тебя на руках договор купли-продажи, согласно которого мотоцикл принадлежит тебе.

4) есть ли какие ограничения на время, в которое покупатель должен зарегистрировать мотоцикл с момента покупки (или какие проблемы могут быть с гайцами при езде на неперерегистрированном мотоцикле)?

А вот этого не знаю.